Beweis der Identität von Cassini (1680)

Aktualisiert: 6. Nov.

Für die Fibonacci-Folge mit f₀ = 0, f₁ = 1 und fₙ = fₙ₋₁ + fₙ₋₂ für alle n ≥ 2, n ∈ ℕ fand der italienische Astronom und Mathematiker Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) im Jahr 1680 die nach ihm benannte Identität:

Ein Beweis dieser Identität mit dem Prinzip der vollständigen Induktion:

Induktionsanfang: Sei n = 1. Dann ist f₂ · f₀ - (f₁)² = (f₁ + f₀)·0 - 1² = -1 = (-1)¹ .

Induktionsannahme: Für ein n ∈ ℕ gilt: fₙ₊₁ · fₙ₋₁ - (fₙ)² = (-1)ⁿ

Induktionsschritt: Zu zeigen ist: fₙ₊₂ · fₙ - (fₙ₊₁)² = (-1)ⁿ⁺¹

Es gilt:

fₙ₊₂ · fₙ - (fₙ₊₁)² | fₙ₊₂ = fₙ₊₁ + fₙ

= (fₙ₊₁ + fₙ) fₙ - (f_n+1)²

= fₙ₊₁ · fₙ + (fₙ)² - (f_n+1)²

= fₙ₊₁ · fₙ - (fₙ₊₁)² + (fₙ)²

= fₙ₊₁ · (fₙ - fₙ₊₁) + (fₙ)² | fₙ₊₁ = fₙ + fₙ₋₁

= fₙ₊₁ · (fₙ - (fₙ + fₙ₋₁)) + (fₙ)²

= fₙ₊₁ · (- fₙ₋₁) + (fₙ)²

= - fₙ₊₁ · fₙ₋₁ + (fₙ)²

= -1·(fₙ₊₁ · fₙ₋₁ - (fₙ)²) | IA: fₙ₊₁ · fₙ₋₁ - (fₙ)² = (-1)ⁿ

= -1·(-1)ⁿ = (-1)ⁿ⁺¹ .

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion gilt daher:

fₙ₊₁ · fₙ₋₁ - (fₙ)² = (-1)ⁿ für alle n ≥ 1, n ∈ ℕ.

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