Dichte, Erwartungswert und Varianz einer stetigen Zufallsvariable und ihrer Transformierten

Eine Zufallsvariable X sei stetig gleichverteilt auf dem Intervall [0,1]:

f(x) = 1 für 0 ≤ X ≤ 1, f(x) = 0 sonst.

a) Wie lauten Erwartungswert und Varianz von X?

b) Wie lauten Dichte und Erwartungswert der Zufallsvariable √X?

zu a)

Berechnung des Erwartungswerts

E(X) = ∫(0 bis 1) x·1 dx = [1/2 x²](0 bis 1) = 1/2.

Berechnung der Varianz

Für die Varianz gilt: Var(X) = E((X-E(X))²) = E(X²)-E(X)².

Mit E(X²) = ∫(0 bis 1) x²·1 dx = [1/3 x³](0 bis 1) = 1/3 ist

Var(X) = 1/3 - (1/2)² = 1/3 - 1/4 = 1/12.

zu b)

Bestimmen der Dichtefunktion von √X

Da es sich bei y = g(x) = √X um eine streng monoton wachsende Transformation handelt, gilt

fY(y) = fX(x)·1/g'(x) für 0 ≤ g(X) ≤ 1.

Mit fX(x) = 1, g'(x) = 0,5/√x und x = y² ist

fY(y) = 1·1/(0,5/√x) = 1·2·√y² = 2y.

Berechnung des Erwartungswerts von √X

Der Erwartungswert E(Y) = E(√X) berechnet sich zu

E(Y) = E(√X) = ∫(0 bis 1) y · 2y dy = 2 ∫(0 bis 1) y² dy = 2 [1/3 y³](0 bis 1) = 2/3.