Eine Zufallsvariable X sei stetig gleichverteilt auf dem Intervall [0,1]:
f(x) = 1 für 0 ≤ X ≤ 1, f(x) = 0 sonst.
a) Wie lauten Erwartungswert und Varianz von X?
b) Wie lauten Dichte und Erwartungswert der Zufallsvariable √X?
zu a)
Berechnung des Erwartungswerts
E(X) = ∫(0 bis 1) x·1 dx = [1/2 x²](0 bis 1) = 1/2.
Berechnung der Varianz
Für die Varianz gilt: Var(X) = E((X-E(X))²) = E(X²)-E(X)².
Mit E(X²) = ∫(0 bis 1) x²·1 dx = [1/3 x³](0 bis 1) = 1/3 ist
Var(X) = 1/3 - (1/2)² = 1/3 - 1/4 = 1/12.
zu b)
Bestimmen der Dichtefunktion von √X
Da es sich bei y = g(x) = √X um eine streng monoton wachsende Transformation handelt, gilt
fY(y) = fX(x)·1/g'(x) für 0 ≤ g(X) ≤ 1.
Mit fX(x) = 1, g'(x) = 0,5/√x und x = y² ist
fY(y) = 1·1/(0,5/√x) = 1·2·√y² = 2y.
Berechnung des Erwartungswerts von √X
Der Erwartungswert E(Y) = E(√X) berechnet sich zu
E(Y) = E(√X) = ∫(0 bis 1) y · 2y dy = 2 ∫(0 bis 1) y² dy = 2 [1/3 y³](0 bis 1) = 2/3.
