Erwartungstreue, Effizienz und Konsistenz eines Schätzers

Aktualisiert: 25. Sept.

Unter einem Schätzer versteht man eine Funktion von Stichprobendaten


T = f(X)


die zur Schätzung einer unbekannten Größe θ einer Zufallsvariablen, z.B. des Erwartungswerts, E(X), oder der Varianz, Var(X), verwendet wird.


Beispielsweise kann man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen durch das arithmetische Mittel oder den ersten Wert in der Stichprobe X1 schätzen. Die Varianz einer Zufallsvariablen kann man durch die empirische Varianz S² = 1/n ∑ (x-x̄)² oder die korrigierte Varianz s² = 1/(n-1) ∑ (x-x̄)² schätzen.


Für Schätzer wünscht man sich bestimmte Qualitätseigenschaften. Dazu gehören die Erwartungstreue, die Effizienz und die Konsistenz.


Unter Erwartungstreue versteht man, dass der Erwartungswert des Schätzers gleich dem Erwartungswert der gesuchten unbekannten Größe ist:

E(T) = θ.


Beispielsweise ist das arithmetische Mittel erwartungstreu für den Erwartungswert der Zufallsvariable:


E(x̄) = E(X).


Aber die empirische Varianz S² ist nicht erwartungstreu für die Varianz von X:

E(S²) ≠ Var(X).


Unter Effizienz versteht man häufig, dass ein erwartungstreuer Schätzer die kleinste Varianz unter allen erwartungstreuen Schätzern aufweist:


Effizienz = min(Var(T1), Var(T2), Var(T3), ...),


wobei T1, T2, T3 ... erwartungstreu sind.


Beispielweise ist das arithmetische Mittel einer normalverteilten Zufallsvariable effizient zur Schätzung des Erwartungswerts E(X).


Unter (schwacher) Konsistenz eines Schätzers versteht man, dass die Wahrscheinlichkeit von Abweichungen des Schätzers von der gesuchten unbekannten Größe, die einen bestimmten Wert ε > 0 überschreiten, mit zunehmender Stichprobengröße gegen Null geht:


lim(n → ∞) P(|T - θ| > ε) = 0, alternative Schreibweise: plim T = θ.


Beispielsweise sind das arithmetische Mittel und die empirische Varianz S² konsistent.


Konsistenz und Erwartungstreue setzen sich nicht gegenseitig voraus. Ein konsistenter Schätzer kann, muß aber nicht erwartungstreu sein. Beispielsweise ist die empirische Varianz S² kein erwartungstreuer, aber ein konsistenter Schätzer für die Varianz der Zufallsvariable, Var(X). Auch ein erwartungstreuer Schätzer muß nicht konsistent sein. Der erste Wert einer Stichprobe X1 ist ein erwartungstreuer Schätzer, da E(X1) = E(X) gilt. Er ist aber kein konsistenter Schätzer.


Hinweis: Angenommen wurden unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen.

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