Stationarität, Varianz und Autokorrelation eines AR(1)-Prozesses

Gegeben sei der stochastische Prozess Yt = 0,5Yt-1+ εt, wobei εt eine White-Noise-Prozess mit Varianz σ² ist.

a) Ist der Prozess stationär?

b) Wie lautet die stationäre Varianz?

c) Bestimmen Sie ρ(Yt, Yt-1), ρ(Yt, Yt-2)?

zu a)

Yt = 0,5Yt-1 + εt ist ein AR(1)-Prozess mit | φ | = 0,5 < 1. Daher ist der Prozess stationär.

zu b)

Für die stationäre Varianz eines AR(1)-Prozesses gilt allgemein: Var(y) = σ² / (1-φ²). Hier gilt:

Var(y) = σ² / (1-φ²) = σ² / (1-0,5²) = σ² / (1-0,25) = σ² / (3/4) = 4/3 σ² .

zu c)

1. ρ(Yt, Yt-1) = Cov(Yt, Yt-1) / Var(y)

Dabei ist

Cov(Yt, Yt-1) = Cov(0,5yt-1 + εt, yt-1) = 0,5 Cov(yt-1,yt-1) + Cov(εt, yt-1) = 0,5 Var(y) = 2/3 σ² .

Daraus ergibt sich:

ρ(Yt, Yt-1) = Cov(Yt, Yt-1) / Var(y) = 2/3 σ² / (4/3 σ²) = 0,5.

2. ρ(Yt, Yt-2) = Cov(Yt, Yt-2) / Var(y)

Dabei ist

Cov(Yt, Yt-2)=Cov(0,5yt-1 + εt, yt-2) = Cov(0,5(0,5yt-2+εt-1) + εt, yt-2)= Cov(0,25 yt-2, yt-2) = 0,25 Var(y) = 1/3 σ²

Daraus folgt:

ρ(Yt, Yt-2) = Cov(Yt, Yt-2) / Var(y) = 1/3 σ² / (4/3 σ²) = 0,25.