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Stationarität, Varianz und Autokorrelation eines AR(1)-Prozesses

Gegeben sei der stochastische Prozess Yt = 0,5Yt-1+ εt, wobei εt eine White-Noise-Prozess mit Varianz σ² ist.


a) Ist der Prozess stationär?

b) Wie lautet die stationäre Varianz?

c) Bestimmen Sie ρ(Yt, Yt-1), ρ(Yt, Yt-2)?


zu a)


Yt = 0,5Yt-1 + εt ist ein AR(1)-Prozess mit | φ | = 0,5 < 1. Daher ist der Prozess stationär.


zu b)


Für die stationäre Varianz eines AR(1)-Prozesses gilt allgemein: Var(y) = σ² / (1-φ²). Hier gilt:


Var(y) = σ² / (1-φ²) = σ² / (1-0,5²) = σ² / (1-0,25) = σ² / (3/4) = 4/3 σ² .


zu c)


1. ρ(Yt, Yt-1) = Cov(Yt, Yt-1) / Var(y)


Dabei ist


Cov(Yt, Yt-1) = Cov(0,5yt-1 + εt, yt-1) = 0,5 Cov(yt-1,yt-1) + Cov(εt, yt-1) = 0,5 Var(y) = 2/3 σ² .


Daraus ergibt sich:


ρ(Yt, Yt-1) = Cov(Yt, Yt-1) / Var(y) = 2/3 σ² / (4/3 σ²) = 0,5.


2. ρ(Yt, Yt-2) = Cov(Yt, Yt-2) / Var(y)


Dabei ist


Cov(Yt, Yt-2)=Cov(0,5yt-1 + εt, yt-2) = Cov(0,5(0,5yt-2+εt-1) + εt, yt-2)= Cov(0,25 yt-2, yt-2) = 0,25 Var(y) = 1/3 σ²


Daraus folgt:


ρ(Yt, Yt-2) = Cov(Yt, Yt-2) / Var(y) = 1/3 σ² / (4/3 σ²) = 0,25.


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